Question

公园的风景墙上设计了一种矩形窗户（如图1），在矩形窗框内有等宽的四边形窗格（空白处用以通风透光）．图2是其设计图，已知AD=60cm，AB=80cm，E、F、G、H分别是矩形各边的中点，四边形EFGH和E’F’G’H’形状相同．点E、E’、G’、G和F、F’、H’、H各在一条直线上，量得EE’=GG’=10cm，FF’=HH’=7.5cm．求窗户用以通风的面积．

Answer 1

解：连接AC、BD，
∵E、F分别是AD、AB的中点，
∴EF=BD，
同理：GH=BQ，EH=AC=FG，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，
∴EF=FG=GH=HE，
即四边形EFGH是菱形，
∵四边形EFGH和E’F’G’H’形状相同，
∴四边形E’F’G’H’也是菱形，
连接EG、FH，则FH=AD=60，EG=AB=80，
∴E’G’=EG-EE’-GG’=80-10-10=60，
F’H’=FH-FF’一HH’=60-7.5-7.5=45，
∴窗户的通风面积为：
S_矩形ABCD-S_菱形EFGH+S_{菱形E’F’G’H}’
=80×60-×80×60+×60×45，
=3750（cm²）．
答：窗户用以通风的面积是3750cm²．
分析：根据三角形的中位线定理和矩形的性质求出EF=FG=GH=HE，推出四边形EFGH是菱形，求出菱形的对角线长，根据菱形的性质和S_矩形ABCD-S_菱形EFGH+S_{菱形E’F’G’H}，代入求出即可．
点评：本题主要考查对矩形的性质，菱形的性质和判定，三角形的中位线定理等知识点的理解和掌握，能推出四边形是菱形是解此题的关键．