Question

8．如图，在△ABC中，DE∥BC．
（1）若点D是AB边的中点，求△ADE与△ABC的周长的比和面积的比；
（2）若S_△ADE：S_梯形BCED=1：8，求AD：DB的值．

Answer 1

分析 （1）先判断出AD=$\frac{1}{2}$AB．再判断出△ADE∽△ABC，根据相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平分即可；
（2）先判断出$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△ABC}}=\frac{1}{9}$，然后根据相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平分即可．

解答 解：（1）∵点D是AB中点，
∴AD=BD=$\frac{1}{2}$AB，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴$\frac{{L}_{△ADE}}{{L}_{△ABC}}$=$\frac{AD}{AB}=\frac{\frac{1}{2}AB}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△ABC}}=（\frac{AD}{AB}）^{2}=（{\frac{\frac{1}{2}AB}{AB}）}^{2}=\frac{1}{4}$，
（2）∵S_△ADE：S_梯形BCED=1：8，
∴$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△ABC}}=\frac{1}{9}$，
由（1）知，$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△ABC}}=（\frac{AD}{AB}）^{2}$，
∴$（\frac{AD}{AB}）^{2}=\frac{1}{9}$，
∵AD＞0，AB＞0，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{1}{3}$，
∴$\frac{AD}{DB}=\frac{1}{2}$．

点评 此题是相似三角形的性质与判定，解本题的关键是熟练应用相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．