Question

6．如图，已知圆O，弦AB、CD相交于点M，M为CD中点，且圆O的半径为3，OM=2，求AM•MB的值．

Answer 1

分析 连接AD、BC、OM、OC，利用同弧所对的圆周角相等，证明△ADM∽△CBM；由于M是CD的中点，由垂径定理得OM⊥CD，利用勾股定理可求出CM的值，根据（1）的结论，求出AM•BM．

解答 解：连接AD、BC、OM、OC，
∵∠A=∠C，∠D=∠B，
∴△ADM∽△CBM
∴$\frac{AM}{CM}$=$\frac{DM}{BM}$ 即AM•MB=CM•MD．
∵M为CD中点，
∴OM⊥CD
在Rt△OMC中，∵OC=3，OM=2
∴CD=CM=$\sqrt{O{C}^{2}-O{M}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}-{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
由（1）知AM•MB=CM•MD．
∴AM•MB=$\sqrt{5}$•$\sqrt{5}$=5．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、圆周角定理及垂径定理，是综合性较强的题目．（1）利用相似、圆周角定理得到相交弦定理；（2）中利用垂径定理、勾股定理和相交弦定理得到了AM与BM的积．相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等