Question

12．如图所示，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，2OB=3OA，点A在反比例函数y=$\frac{2}{x}$的图象上，若点B在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，则k的值为（　　）

• A． 3
• B． -3
• C． -$\frac{9}{2}$
• D． -$\frac{9}{4}$

Answer 1

分析 过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D．根据条件得到△ACO∽△ODB，得到：$\frac{BD}{OC}=\frac{OD}{AC}=\frac{OB}{OA}$=$\frac{3}{2}$，然后用待定系数法即可．

解答 解：过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D．
设点A的坐标是（m，n），则AC=n，OC=m，
∵∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°，
∵∠DBO+∠BOD=90°，
∴∠DBO=∠AOC，
∵∠BDO=∠ACO=90°，
∴△BDO∽△OCA，
∴$\frac{BD}{OC}=\frac{OD}{AC}=\frac{OB}{OA}$，
∵2OB=3OA，
∴BD=$\frac{3}{2}$m，OD=$\frac{3}{2}$n，
因为点A在反比例函数y=$\frac{2}{x}$的图象上，则mn=2，
∵点B在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，B点的坐标是（-$\frac{3}{2}$n，$\frac{3}{2}$m），
∴k=-$\frac{3}{2}$n•$\frac{3}{2}$m=-$\frac{9}{4}$mn=-$\frac{9}{2}$．
故选C．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，求函数的解析式的问题，一般要转化为求点的坐标的问题，求出图象上点的横纵坐标的积就可以求出反比例函数的解析式．