Question

如图．AD、AH分别是△ABC（其中AB＞AC）的角平分线、高线，M点是AD的中点，△MDH的外接圆交CM于E，求证∠AEB=90°．

Answer 1

分析：连接MH，EH，由直角三角形斜边中点的性质，得MH=MA=MD，则∠MHD=∠MDH，由圆内接四边形的性质，得∠HEC=∠MDH，即∠MHD=∠HEC，利用互补关系可证∠MHC=∠MEH，又公共角∠CMH=∠HME，可证△CMH∽△HME，利用相似比得MH²=ME•MC，而MH=MA，故MA²=ME•MC，将问题转化到△CMA与△AME中，利用公共角证明△CMA∽△AME，可得∠MCA=∠MAE，利用角的相等关系转化，证明∠BHE+∠BAE=180°，可判断A，B，H，E四点共圆，证明结论．

解答：证明：如图，连接MH，EH，
∵M是Rt△AHD斜边AD的中点，
∴MA=MH=MD，
∴∠MHD=∠MDH，
∵M，D，H，E四点共圆，
∴∠HEC=∠MDH，
∴∠MHD=∠MDH=∠HEC，
∴∠MHC=180°-∠MHD=180°-∠HEC=∠MEH，
∵∠CMH=∠HME，
∴△CMH∽△HME，
∴

MH

MC

=

ME

MH

，即MH²=ME•MC，
∴MA²=ME•MC，
又∵∠CMA=∠AME，
∴△CMA∽△AME，
∴∠MCA=∠MAE，
∴∠BHE+∠BAE=∠DHE+∠BAD+∠MAE=∠DHE+∠MAC+∠MCA=∠DHE+∠DME=180°，
∴A，B，H，E四点共圆，
∴∠AEB=∠AHB，
又∵AH⊥BH，
∴∠AHB=90°，
∴∠AEB=∠AHB=90°．

点评：本题考查了四点共圆，相似三角形的判定与性质．关键是利用直角三角形斜边上中线的性质证明角相等，证明三角形相似，再利用相似比，将线段转化，证明新的相似三角形，得出相等角，利用角的和差关系证明四点共圆．