Question

把正方形ABCD绕着点A，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG，边FG与BC交于点H（如图）．试问线段HG与线段HB相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想．

Answer 1

证明：HG=HB，
证法1：连接AH，
∵四边形ABCD，AEFG都是正方形，
∴∠B=∠G=90°，
由题意知AG=AB，又AH=AH，
∴Rt△AGH≌Rt△ABH（HL），
∴HG=HB．

证法2：连接GB，
∵四边形ABCD，AEFG都是正方形，
∴∠ABC=∠AGF=90°，
由题意知AB=AG，
∴∠AGB=∠ABG，
∴∠HGB=∠HBG，
∴HG=HB．
分析：要证明HG与HB是否相等，可以把线段放在两个三角形中证明这两个三角形全等，或放在一个三角形中证明这个三角形是等腰三角形，而图中没有这样的三角形，因此需要作辅助线，构造三角形．
点评：解答本题要充分利用正方形的特殊性质．注意在正方形中的特殊三角形的应用，搞清楚矩形、菱形、正方形中的三角形的三边关系，可有助于提高解题速度和准确率．