Question

【题目】如图，AB 是⊙O的直径，∠DAB的角平分线AC交⊙O于点C，过点C作CD⊥AD于D，AB的延长线与DC的延长线相交于点P，∠ACB的角平分线CE交AB于点F、交⊙O于E．

（1）求证：PC与⊙O相切；

（2）求证：PC＝PF；

（3）若AC＝8，tan∠ABC＝，求线段BE的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）如图，连接OC，根据AC是∠DAB的角平分线，证明OC∥AD，进而可证PC与⊙O相切；

（2）根据CF是∠ACB的角平分线，和外角定义即可得∠PFC＝∠PCF，进而得PC＝PF；

（3）根据AB 是⊙O的直径，可得∠ACB＝90°，根据AC＝8，tan∠ABC＝＝，可得BC＝6，再根据勾股定理和垂径定理即可得线段BE的长．

（1）如图，连接OC，

∵OA＝OC，

∴∠OAC＝∠OCA，

∵AC是∠DAB的角平分线，

∴∠DAC＝∠OAC，

∴∠OCA＝∠DAC，

∴OC∥AD，

∵AD⊥CD，

∴OC⊥CD，

∴PC与⊙O相切；

（2）∵CF是∠ACB的角平分线，

∴∠ACF＝∠BCF，

∵∠CAF＝∠PCB，

∴∠ACF+∠CAF＝∠BCF+∠PCB，

∴∠PFC＝∠PCF，

∴PC＝PF．

（3）∵AB 是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∵AC＝8，tan∠ABC＝＝，

∴BC＝6，

∴AB＝＝10，

∴OB＝OE＝5，

∵∠ACE＝∠BCE，

∴，

∴EO⊥AB，

∴BE＝＝5．