Question

16．在平面直角坐标系中，如果某点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为“梦之点”．例如点（1，1），（-2016，-2016），（-$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$），…，都是“梦之点”．
（1）分别判断函数y=-2x+1和y=x²+1的图象上是否存在“梦之点”？若存在，求出点“梦之点”的坐标；
（2）若二次函数y=ax²+4x+c的图象上有且只有一个“梦之点”（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$），且当0≤x≤m时，函数y=ax²+4x+c-$\frac{3}{4}$（a≠0）的最小值为-3，最大值为1，求m的取值范围；
（3）直线l：y=kx+2经过“梦之点”P，与x轴交于点D，与反比例函数y=$\frac{n}{x}$的图象交于M，N两点（点M在点N的左侧），若点P的横坐标为1，且满足DM+DN＜3$\sqrt{2}$，请直接写出n的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据和谐点的横坐标与纵坐标相同，可得关于a的方程，根据解方程，可得答案．
（2）根据和谐点的概念令ax²+4x+c=x，即ax²+3x+c=0，由题意，△=3²-4ac=0，即4ac=9，方程的根为 $\frac{-3}{2a}$=$\frac{3}{2}$，从而求得a=-1，c=-$\frac{9}{4}$，所以函数y=ax²+4x+c-$\frac{3}{4}$=-x²+4x-3，根据函数解析式求得顶点坐标与纵坐标的交点坐标，根据y的取值，即可确定x的取值范围．
（3）根据题意得出当n＞0时，以及当n＜0时，分别利用数形结合得出n的取值．

解答 解：（1）存在，
令-2x+1=x，解得x=$\frac{1}{3}$，
∴函数y=-2x+1的图象上有一个和谐点（ $\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$）；   
令x²+1=x，即x²-x+1=0，
∵根的判别式△=（-1）²-4×1×1=-3＜0，
∴方程x²-x+1=0无实数根，
∴函数y=x²+1的图象上不存在和谐点．            
（2）令ax²+4x+c=x，即ax²+3x+c=0，
由题意，△=3²-4ac=0，即4ac=9，
又方程的根为 $\frac{-3}{2a}$=$\frac{3}{2}$，
解得a=-1，c=-$\frac{9}{4}$．                           
故函数y=ax2+4x+c-$\frac{3}{4}$，即y=-x²+4x-3，
如图1，该函数图象顶点为（2，1），与y轴交点为（0，-3），由对称性，该函数图象也经过点（4，-3）．                            

由于函数图象在对称轴x=2左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小，且当0≤x≤m时，函数y=-x²+4x-3的最小值为-3，最大值为1，
∴2≤m≤4．              
（3）-$\frac{5}{4}$＜n＜0，或0＜n＜1．  
∵y=kx+2经过和谐点P，
∴y=x，
∴x=kx+2，
∴点P的横坐标为1，
∴k=-1，
∴直线l为：y=-x+2，
 分两种情况：

①如图2，当n＞0时，
∵y=-x+2，与x轴交于点D（2，0），与y轴交于点F（0，2），
∴DF=2 $\sqrt{2}$，
∴DM+DN＜3 $\sqrt{2}$，
∴只要y=-x+2与y=$\frac{n}{x}$有交点坐标即可，
∴-x+2=$\frac{n}{x}$，
整理得：x²-2x+n=0，
∴b²-4ac＞0，
∴4-4n＞0，
解得：n＜1，
则0＜n＜1；

②如图3，

当n＜0时，当DM+DN=3 $\sqrt{2}$，
则DN=FM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵y=-x+2，与x轴交于点D（2，0），与y轴交于点F（0，2），
∴可求出M（-$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$），
则xy=n=-$\frac{5}{4}$，
则-$\frac{5}{4}$＜n＜0．
综上，当-$\frac{5}{4}$＜n＜0或0＜n＜1时，反比例函数G₂的图象与直线l有两个公共点M，N，且DM+DN＜3 $\sqrt{2}$．

点评 本题是二次函数的综合题，考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质以及根的判别式等知识，利用分类讨论以及数形结合得出是解题关键．