Question

已知α、β是方程x²+5x+1=0的两个根，求

α β

+

β α

的值．

Answer 1

分析：由已知方程找出a，b及c，计算出b²-4ac的值大于0，故利用根与系数的关系求出α+β及αβ的值，根据α+β及αβ的值判断出两根同时为负，所以把所求的式子分子分母同时乘以分母，利用绝对值的代数意义：负数的绝对值等于它的相反数化简且把αβ的值代入后，提取-1，括号里通分后再把两根之和与两根之积代入即可求出值．

解答：解：∵α、β是方程x²+5x+1=0的两个根，
而a=1，b=5，c=1，
∴b²-4ac=25-4=21＞0，
∴α+β=-

b

a

=-

5

1

=-5，αβ=

c

a

=

1

1

=1，
∴α与β同时为负，
则

αβ β2

+

αβ α2

=

αβ

|β|

+

αβ

|α|

=-（

αβ

β

+

αβ

α

）
=-（

1

β

+

1

α

）
=-

α+β

αβ

=-

-5

1

=5．

点评：此题考查了二次根式的化简求值，以及一元二次方程根与系数的关系，解答此类题往往先根据方程找出a，b及c的值，在方程有解的前提下，由根与系数的关系求出两根之积与两根之和的值，然后把所求的式子通分、配方、提取公因式等方法化为与两个之和及两根之积有关的式子，整体代入即可求出值．学生在利用根与系数关系时注意方程有解这个前提条件．