Question

已知关于x的方程mx²-（3m-1）x+2m-2=0
（1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根；
（2）若一元二次方程mx²-（3m-1）x+2m-2=0的两个实数根分别为x₁，x₂．且|x₁-x₂|=2，求m的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据一元二次方程根的判别式，当△≥0时，方程有两个实数根，所以只需证明△≥0即可；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系，首先将|x₁-x₂|=2，变形得出两根之和与两根之差的形式，结合x₁+x₂=-，x₁x₂=，求出即可．
解答：解：（1）①当m=0时，原方程为x-2=0，
解得：x=2，
所以方程有实数根；
②当m≠0时，
∵△=b²-4ac
=[-（3m-1）]²-4m（2m-2），
=（3m-1）²-8m²+8m，
=9m²-6m+1-8m²+8m，
=m²+2m+1，
=（m+1）²；
∴△=（m+1）²≥0，
∴方程有实数根；
综上可知无论m取任何实数时，方程恒有实数根；

（2）∵一元二次方程mx²-（3m-1）x+2m-2=0的两个实数根分别为x₁，x₂．
|x₁-x₂|=2，
∴x₁+x₂=-=，x₁x₂==；
∴（x₁-x₂）²=4，
∴x₁²+x₂²-2x₁x₂=4，
∴x₁²+x₂²+2x₁x₂-4x₁x₂=4，
∴（x₁+x₂）²-4x₁x₂=4，
∴（）²-4×=4，
∴整理得：-3m²+2m-1=0，
解得：m₁=1，m₂=-，
∴一元二次方程mx²-（3m-1）x+2m-2=0的两个实数根分别为
x₁，x₂，且|x₁-x₂|=，m的值为1或-．
点评：此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，以及根的判别式，将|x₁-x₂|=2，正确的平方，得出两根之和与之差形式是解决问题的关键．