Question

15．如图，平行四边形ADBC中，∠C=60°，AC=BC，点E、F分别在BC、AC上，BE=CF，AE=BF交于点G．
（1）求∠EGB的度数；
（2）连接DG，求证：DG=AG+BG．

Answer 1

分析 （1）根据三角形全等的判定方法可证得△ABE≌△BCF，则∠BAE=∠FBC，利用三角形外角性质得∠BGE=∠ABG+∠BAE，即可得到结论；
（2）延长GE至点H，使GH=GB，由于∠BGE=60°，根据等边三角形的判定得到△BGH为等边三角形，然后根据等边三角形的性质得到BG=BH=GH，∠GBH=60°，且AB=BD，∠ABD=60°，易得∠ABH=∠DBG，根据三角形全等的判定方法可证得△DBG≌△ABH（SAS），则DG=AH，即可得到DG=AG+BG．

解答 （1）解：∠C=60°，AC=BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠C=60°，
∵在△ABE和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABE=∠C}\\{BE=CF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠BAE=∠FBC，
∴∠BGE=∠ABG+∠BAE=∠ABG+∠FBC=∠ABC=60°；

（2）证明：延长GE至点H，使GH=GB，如图，
∵∠BGE=60°，
∴△BGH为等边三角形，
∴BG=BH=GH，∠GBH=60°，
∵四边形ADBC是平行四边形，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB=BD，∠ABD=60°，
∵∠ABH=∠GBH+∠ABG，∠DBG=∠ABD+∠ABG，
∴∠ABH=∠DBG，
∵在△DBG和△ABH中，
$\left\{\begin{array}{l}{DB=AB}\\{∠DBG=∠ABH}\\{BG=BH}\end{array}\right.$，
∴△DBG≌△ABH（SAS），
∴DG=AH，
而AH=AG+GH，
∴DG=AG+BG．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质：有两组边对应相等，且它们所夹的角相等，那么这两个三角形全等；全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角形的判定与性质．