Question

如图所示，在△ABC中，∠C=90°，D为BC边的中点，DE⊥AB于E，则AE²-BE²等于（ ）

A．AC²
B．BD²
C．BC²
D．DE²

Answer 1

【答案】分析：取AB的中点F，连接DF．观察要求的式子，首先利用平方差公式进行转换，可得AE²-BE²=（AE+BE）（AE-BE）=AB•2EF=4EF•BF，只需求解BF•EF的值；
根据射影定理，易证△DEF∽△BDF，得到EF•BF=DF²．再进一步观察选择题的答案，结合三角形的中位线定理即可求解．
解答：解：作AB的中点F，连接DF，

则DF∥AC，DF=AC．
在Rt△BDF中，又DE⊥AB，得△DEF∽△BDF．
∴．
即EF•BF=DF²=AC²．
∴AE²-BE²=（AE+BE）（AE-BE）=AB•2EF=4EF•BF=AC²．
故选A．
点评：巧妙构造辅助线，运用因式分解的方法把要求的结论进行转换，结合相似三角形的性质以及三角形的中位线定理进行解答．