Question

10．如图，已知反比例函数y₁=$\frac{{k}_{1}}{x}$的图象与一次函数y₂=k₂x+b的图象交于A、B两点，A（2，n），B（-$\frac{1}{2}$，-2）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出不等式y₁＞y₂的解集；
（3）求△AOB的面积．

Answer 1

分析 （1）由点B的坐标利用待定系数法即可求出反比例函数的解析式；由点A在反比例函数图象上，可求出n的值，即求出点A的坐标，再由点A、B的坐标利用待定系数法即可求出一次函数的解析式；
（2）结合两函数的图象的上下位置以及交点坐标，即可得出不等式的解集；
（3）设一次函数y₂=x-$\frac{3}{2}$与x轴的交点为点C，令一次函数中y=0，可求出点C的坐标，结合A、B、C点的坐标利用三角形的面积公式即可得出结论．

解答 解：（1）∵点B（-$\frac{1}{2}$，-2）在反比例函数y₁=$\frac{{k}_{1}}{x}$的图象上，
∴-2=$\frac{{k}_{1}}{-\frac{1}{2}}$，解得：k₁=1．
∴反比例函数的解析式为y₁=$\frac{1}{x}$；
∵点A（2，n）在反比例函数y₁=$\frac{1}{x}$的图象上，
∴n=$\frac{1}{2}$，即点A的坐标为（2，$\frac{1}{2}$）．
将点A（2，$\frac{1}{2}$）、B（-$\frac{1}{2}$，-2）代入到一次函数y₂=k₂x+b中得：
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}=2{k}_{2}+b}\\{-2=-\frac{1}{2}{k}_{2}+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{2}=1}\\{b=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$．
∴一次函数的解析式为y₂=x-$\frac{3}{2}$．
（2）结合函数图象可知：当x＜-$\frac{1}{2}$或0＜x＜2时，反比例函数图象在一次函数图象的上方，
故不等式y₁＞y₂的解集为x＜-$\frac{1}{2}$或0＜x＜2．
（3）设一次函数y₂=x-$\frac{3}{2}$与x轴的交点为点C，如图所示．

令y₂=x-$\frac{3}{2}$中y₂=0，则0=x-$\frac{3}{2}$，
解得：x=$\frac{3}{2}$，即点C的坐标为（$\frac{3}{2}$，0）．
S_△AOB=$\frac{1}{2}$OC•（y_A-y_B）=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×[$\frac{1}{2}$-（-2）]=$\frac{15}{8}$．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式以及三角形的面积公式，解题的关键：（1）利用待定系数法求函数解析式；（2）结合函数图象解不等式；（3）求出点C的坐标．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．