Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，设AC=b，BC=a，CD=h，AB=c，下面有3个命题：（1）

1

a2

+

1

b2

=

1

h2

；（2）a+b＜c+h；（3）以a+b，h，c+h为边的三角形是直角三角形．其中正确命题的个数是（　　）

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

分析：（1）先根据勾股定理用a、b表示出AB的长，再由S_△ABC=

1

2

AC•BC=

1

2

AB•CD解答即可；
（2）先证（3）a+b，h，c+h为边的三角形是直角三角形成立，再由三角形的三边关系求解；
（3）先分别求出（a+b）²，h²，（c+h）²的值，再根据勾股定理的逆定理进行判断即可．

解答：解：（1）∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AC=b，BC=a，CD=h，AB=c，
∴c=

a2+b2

，
∴S_△ABC=

1

2

ab=

1

2

ch，
∴h=

ab

c

，h²=

a2b2

c2

，
∴

1

h2

=

c2

a2b2

，即

1

h2

=

a2+b2

a2b2

=

1

a2

+

1

b2

，故（1）正确；

（2）∵

1

2

ab=

1

2

ch，
∴ab=ch，即a²b²=c²h²，
∴（a+b）²-a²-b²=（c+h）²-c²-h²，
∴（c+h）²-（a+b）²=c²-a²-b²+h²，
∵a²+b²=c²，
∴（c+h）²-（a+b）²=h²，
∵h＞0，且a b c h均为线段．
∴a＞0，b＞0，c＞0，h＞0，
∴c+h＞a+b，故（3）正确；

（3）∵（c+h）²=c²+2ch+h²；
h²+（a+b）²=h²+a²+2ab+b²，a²+b²=c²（勾股定理），ab=ch（面积公式推导），
∴c²+2ch+h²=h²+a²+2ab+b²，
∴（c+h）²=h²+（a+b）²，
∴根据勾股定理的逆定理知道以h，c+h，a+b为边构成的三角形是直角三角形，故正确．
故选D．

点评：本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形的面积公式，熟知勾股定理的逆定理是解答此题的关键．