Question

15、若关于x的方程mx²-2（m+2）x+m+5=0无实根，则关于x的方程（m-6）x²-2（m+2）x+m=0的根的情况是

当m=6时，方程有且只有一个实根；当m＞4且m≠6时，它有两个不等实根．

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Answer 1

分析：由关于x的方程mx²-2（m+2）x+m+5=0无实根，得△=4（m+2）²-4m（m+5）＜0，即-4m+16＜0，即m＞4；对于方程（m-6）²-2（m+2）x+m=0，分两种情况：若m=6，则它是一次方程，显然，此时有且只有一个解；若m≠6，则它是一元二次方程，则△=4（m+2）²-4m（m-6）=4（10m+4），可判断方程有两个不相的实根．最后综合回答即可．

解答：解∵方程mx²-2（m+2）x+m+5=0无实根．
∴△=4（m+2）²-4m（m+5）＜0，即-4m+16＜0，
∴m＞4，
对于方程（m-6）²-2（m+2）x+m=0，
若m=6，则它是一次方程，显然，此时有且只有一个解；
若m≠6，则它是一元二次方程，则△=4（m+2）²-4m（m-6）=4（10m+4），
由m＞4，则有4（10m+4）＞0，即△＞0．
故当m＞4且m≠6时，此方程有两个不相的实根．
所以当m=6时，方程（m-6）x²-2（m+2）+m=0有且只有一个实根；当m＞4且m≠6时，它有两个不等实根．
故答案为当m=6时，方程有且只有一个实根；当m＞4且m≠6时，它有两个不等实根．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b²-4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了一元一次方程和一元二次方程的定义以及分类讨论思想的运用．