【题目】如图1,在平面直角坐标系中,直线:与轴、轴分别交于点和点,抛物线经过点,且与直线的另一个交点为.
(1)求的值和抛物线的解析式;
(2)点在抛物线上,且点的横坐标为().轴交直线于点,点在直线上,且四边形为矩形(如图2),若矩形的周长为,求与的函数关系式以及的最大值;
(3)是平面内一点,将绕点沿逆时针方向旋转后,得到,点、、的对应点分别是点、、.若的两个顶点恰好落在抛物线上,请直接写出点的横坐标.
【答案】(1),抛物线的解析式为;(2),有最大值;(3)点的横坐标为或.
【解析】
(1)把点B的坐标代入直线解析式求出m的值,再把点C的坐标代入直线求解即可得到n的值,然后利用待定系数法求二次函数解析式解答;
(2)令y=0求出点A的坐标,从而得到OA、OB的长度,利用勾股定理列式求出AB的长,然后根据两直线平行,内错角相等可得∠ABO=∠DEF,再解直角三角形用DE表示出EF、DF,根据矩形的周长公式表示出p,利用直线和抛物线的解析式表示DE的长,整理即可得到P与t的关系式,再利用二次函数的最值问题解答;
(3)根据逆时针旋转角为90°可得A1O1∥y轴时,B1O1∥x轴,然后分①点O1、B1在抛物线上时,表示出两点的横坐标,再根据纵坐标相同列出方程求解即可;②点A1、B1在抛物线上时,表示出点B1的横坐标,再根据两点的纵坐标相差A1O1的长度列出方程求解即可.
(1)∵直线:经过点,
∴,
∴直线的解析式为,
∵直线:经过点,
∴,
∵抛物线经过点和点,
∴,解得,
∴抛物线的解析式为;
(2)令,则,解得,
∴点的坐标为,
∴,
在中,,
∴,
∵轴,
∴,
在矩形中,,
,
∴,
∵点的横坐标为(),
∴,,
∴,
∴,
∵,且,
∴当时,有最大值;
(3)∵绕点沿逆时针方向旋转,
∴轴时,轴,设点的横坐标为,
①如图1,点、在抛物线上时,点的横坐标为,点的横坐标为,
∴,
解得,
②如图2,点、在抛的线上时,点的横坐标为,点的纵坐标比点的纵坐标大,
∴,
解得,
综上所述,点的横坐标为或.
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【题目】如图,已知AB是⊙O的直径,F是⊙O上一点,∠BAF的平分线交⊙O于点E,交⊙O的切线BC于点C,过点E作ED⊥AF,交AF的延长线于点D.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)若DE=3,CE=2,
①求值;
②若点G 为AE上一点,求OG+EG最小值.
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【题目】如图(1),公路上有A、B、C三个车站,一辆汽车从A站以速度v1匀速驶向B站,到达B站后不停留,以速度v2匀速驶向C站,汽车行驶路程y(千米)与行驶时间x(小时)之间的函数图象如图(2)所示.
(1)当汽车在A、B两站之间匀速行驶时,求y与x之间的函数关系式及自变量的取值范围;
(2)求出v2的值;
(3)若汽车在某一段路程内刚好用50分钟行驶了90千米,求这段路程开始时x的值.
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【题目】如图,抛物线y=ax2+bx过A(4,0),B(1,-3)两点,点C、B关于抛物线的对称轴对称,过点B作直线BH⊥x轴,交x轴于点H.
(1)求抛物线的表达式;
(2)点P是抛物线上一动点,当ΔABP的面积为3时,求出点P的坐标;
(3)若点M在直线BH上运动,点N在x轴上运动,点R是坐标平面内一点,当以点C、M、N、R为顶点的四边形为正方形时,请直接写出此时点R的坐标.
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【题目】图1是某小型汽车的侧面示意图,其中矩形ABCD表示该车的后备箱,在打开后备箱的过程中,箱盖ADE可以绕点A逆时针方向旋转,当旋转角为60°时,箱盖ADE落在AD′E′的位置(如图2所示).已知AD=96厘米,DE=28厘米,EC=42厘米.
(1)求点D′到BC的距离;
(2)求E、E′两点的距离.
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【题目】如图,点A(-2,n),B(1,-2)是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=的图象的两个交点.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式;
(2)根据图象写出,当kx+b<时,x的取值范围;
(3)若C是x轴上一动点,设t=CB-CA,求t的最大值,并求出此时点C的坐标.
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【题目】在平面直角坐标系中,抛物线经过点和点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)为抛物线上的一个动点,点关于原点的对称点为.当点落在该抛物线上时,求的值;
(3)是抛物线上一动点,连接,以为边作图示一侧的正方形,随着点的运动,正方形的大小与位置也随之改变,当顶点或恰好落在轴上时,求对应的点坐标.
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【题目】如图,矩形ABCD中,E是AD的中点,延长CE,BA交于点F,连接AC,DF.
(1)求证:四边形ACDF是平行四边形;
(2)当CF平分∠BCD时,写出BC与CD的数量关系,并说明理由.
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