Question

【题目】如图，直线y=2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，过点B的抛物线y=-x2+bx+c与直线BC交于点D（3，-4）．

（1）求直线BD和抛物线的解析式；

（2）在第一象限内的抛物线上，是否存在一点M，作MN垂直于x轴，垂足为点N，使得以M、O、N为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在直线BD上方的抛物线上有一动点P，过点P作PH垂直于x轴，交直线BD于点H，当四边形BOHP是平行四边形时，试求动点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）直线BD的解析式为：y=-2x+2；y=-x2+x+2；（2）（1，2），（，）；（3）P点的坐标为（1，2）或（2，0）．

【解析】

试题分析：（1）由直线y=2x+2可以求出A，B的坐标，由待定系数法就可以求出抛物线的解析式和直线BD的解析式；

（2）如图1，2，由（1）的解析式设M（a，-a2+a+2），当△BOC∽△MON或△BOC∽△ONM时，由相似三角形的性质就可以求出结论；

（3）设P（b，-b2+b+2），H（b，-2b+2）．由平行四边形的性质建立方程求出b的值就可以求出结论．

试题解析：（1）∵y=2x+2，

∴当x=0时，y=2，

∴B（0，2）．

当y=0时，x=-1，

∴A（-1，0）．

∵抛物线y=-x2+bx+c过点B（0，2），D（3，-4），

∴

解得：，

∴y=-x2+x+2；

设直线BD的解析式为y=kx+b，由题意，得

，

解得：，

∴直线BD的解析式为：y=-2x+2；

（2）存在．

如图1，

设M（a，-a2+a+2）．

∵MN垂直于x轴，

∴MN=-a2+a+2，ON=a．

∵y=-2x+2，

∴y=0时，x=1，

∴C（1，0），

∴OC=1．

∵B（0，2），

∴OB=2．

当△BOC∽△MNO时，

∴，

∴，

解得：a1=1，a2=-2（舍去）

∴M（1，2）；

如图2，

当△BOC∽△ONM时，

，

∴，

∴a=或（舍去），

∴M（，）．

∴符合条件的点M的坐标为（1，2），（，）；

（3）设P（b，-b2+b+2），H（b，-2b+2）．

如图3，

∵四边形BOHP是平行四边形，

∴BO=PH=2．

∵PH=-b2+b+2+2b-2=-b2+3b．

∴2=-b2+3b

∴b1=1，b2=2．

当b=1时，P（1，2），

当b=2时，P（2，0）

∴P点的坐标为（1，2）或（2，0）．