Question

9．如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM=PN恒成立；（2）OM+ON的值不变；（3）四边形PMON的面积不变；（4）MN的长不变，其中正确的个数为（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．只要证明△POE≌△POF，△PEM≌△PFN，即可一一判断．

解答 解：如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．
∵∠PEO=∠PFO=90°，
∴∠EPF+∠AOB=180°，
∵∠MPN+∠AOB=180°，
∴∠EPF=∠MPN，
∴∠EPM=∠FPN，
∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，
∴PE=PF，
在△POE和△POF中，
$\left\{\begin{array}{l}{OP=OP}\\{PE=PF}\end{array}\right.$，
∴△POE≌△POF，
∴OE=OF，
在△PEM和△PFN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MPE=∠NPF}\\{PE=PF}\\{∠PEM=∠PFN}\end{array}\right.$，
∴△PEM≌△PFN，
∴EM=NF，PM=PN，故（1）正确，
∴S_△PEM=S_△PNF，
∴S_{四边形PMON}=S_{四边形PEOF}=定值，故（3）正确，
∵OM+ON=OE+ME+OF-NF=2OE=定值，故（2）正确，
MN的长度是变化的，故（4）错误，
故选B．

点评 本题考查全等三角形的性质、角平分线的性质定理、四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．