Question

已知关于x的方程kx2+(k+2)x+

k

4

=0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）设方程的两实根为x₁和x₂（x₁≠x₂），那么是否存在实数k，使

1

x1

+

1

x2

=2成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由于x的方程kx2+(k+2)x+

k

4

=0有两个不相等的实数根，那么方程的判别式大于0，且k≠0，由此可求出实数k的取值范围；
（2）根据根与系数的关系可以得到两根之和与两根之积，然后把已知等式变形为和两根之和与两根之积相关的形式，再代入即可得到关于k的方程，也可以判断是否存在实数k，使

1

x1

+

1

x2

=2成立．

解答：解：（1）由△=(k+2)2-4k×

k

4

＞0，
解得k＞-1，
又∵k≠0，
∴k的取值范围是k＞-1且k≠0；
（2）不存在符合条件的实数k，
理由如下：
∵x1+x2=-

k+2

k

，x1x2=

1

4

，
又

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1x2

=2，
∴-

k+2

k

×4=2，
解得k=-

4

3

经检验k=-

4

3

是方程的解．
由（1）知，当k=-

4

3

时，△＜0，故原方程无实根
∴不存在符合条件的k的值．

点评：此题考查了根与系数的关系和一元二次方程的根的判别式，首先根据方程的判别式得到方程根的情况，然后将根与系数的关系与代数式变形相结合，得到所求字母的方程，解方程即可得到结果，但一定要注意此时k值一定要满足判别式＞0．