Question

【题目】如图，在△ABC中，点E，D，F分别在边AB，BC，CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四个判断：①四边形AEDF是平行四边形；②如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形；③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；④如果AD⊥BC且AB＝AC，那么四边形AEDF是菱形．正确的个数是（ ）

A.4B.3C.2D.1

Answer 1

【答案】A

【解析】

先由两组对边分别平行的四边形为平行四边形，根据DE∥CA，DF∥BA，得出四边形AEDF是平行四边形，故①正确；当∠BAC＝90°，根据推出的平行四边形AEDF，利用有一个角为直角的平行四边形为矩形可得出②正确；如果AD平分∠BAC，通过等量代换可得∠EAD=∠EDA，可得平行四边形AEDF的一组邻边相等，即可得到四边形AEDF是菱形，故③正确；由AD⊥BC且AB＝AC，根据等腰三角形的三线合一可得AD平分∠BAC，同理可得四边形AEDF是菱形，故④正确；进而得到正确说法的个数．

解：∵DE∥CA，DF∥BA

∴四边形AEDF是平行四边形，①正确；

若∠BAC＝90°

∴平行四边形AEDF为矩形，②正确；

若AD平分∠BAC

∴∠EDA=∠FAD

又DE∥CA，

∴∠EAD=∠EDA，

∴AE=DE．

∴平行四边形AEDF为菱形，③正确；

若AD⊥BC，AB＝AC，

∴AD平分∠BAC，

同理可得平行四边形AEDF为菱形，④正确；

故选A．