Question

【题目】如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上异于A、B的两点，连接CD，过点C作CE⊥DB，交DB的延长线于点E．

(1)连接AC、AD，求证：∠DAC+∠ACE=180°．

(2)若∠ABD=2∠BDC，求证：CE是⊙O的切线．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】

（1）根据圆周角定理证得∠ADB=90°，即AD⊥BD，由CE⊥DB证得AD∥CE，根据平行线的性质即可证得结论；

（2）连接OC．先根据等边对等角及三角形外角的性质得出∠3=2∠1，由已知∠4=2∠1，得到∠4=∠3，则OC∥DB，再由CE⊥DB，得到OC⊥CE，根据切线的判定即可证明CE为⊙O的切线.

（1）证明：∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∴AD⊥DB，

∵CE⊥DB，

∴AD∥CE，

∴∠DAC+∠ACE=180°；

（2）连接OC．如图：

∵OA=OC，

∴∠1=∠2．

又∵∠3=∠1+∠2，

∴∠3=2∠1．

又∵∠4=2∠BDC，∠BDC=∠1，

∴∠4=2∠1，

∴∠4=∠3，

∴OC∥DB．

∵CE⊥DB，

∴OC⊥CE．

又∵OC为⊙O的半径，

∴CE为⊙O的切线；