Question

如图，AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，D为⊙O上的一点，CD=CB，延长CD交BA的延长线于点E．

（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若BD的弦心距OF=1，∠ABD=30°，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）

Answer 1

（1）证明详见解析；（2）阴影部分的面积为，理由详见解析.

试题分析：本题考查了切线的判定与性质、垂径定理以及扇形的面积.解题时首先根据已知切线应连接OD.（1）如图，连接OD，只要求证OD⊥CE即可求解.由BC是⊙O的切线，可得∠ABC=90°，又由CD=CB，OB=OD，易证得∠ODC=∠ABC=90°，即可证得CD为⊙O的切线；
（2）在Rt△OBF中，∠ABD=30°，OF=1，可求得BD的长，∠BOD的度数，又由S_阴影=S_扇形OBD-S_△BOD，即可求得答案．

试题解析：
（1）证明：连接OD
∵BC是⊙O的切线
∴∠ABC=90°
∵CD=CB，
∴∠CBD=∠CDB
∵OB=OD
∴∠OBD=∠ODB
∴∠ODC=∠ABC=90°
即OD⊥CD
∴CD为⊙O的切线
（2）解：在Rt△OBF中，
∵∠ABD=30°，OF=1，
∴∠BOF=60°，OB=2，BF=
∵OF⊥BD，
∴BD=2BF=，∠BOD=2∠BOF=120°，
∴S_阴影=S_扇形OBD-S_△BOD=．