如图,在Rt△ABC中,AB=AC,P是边AB(含端点)上的动点.过P作BC的垂线PR,R为垂足,∠PRB的平分线与AB相交于点S,在线段RS上存在一点T,若以线段PT为一边作正方形PTEF,其顶点E,F恰好分别在边BC,AC上.
(1)△ABC与△SBR是否相似,说明理由;
(2)请你探索线段TS与PA的长度之间的关系;
(3)设边AB=1,当P在边AB(含端点)上运动时,请你探索正方形PTEF的面积y的最小值和最大值.
解:(1)∵RS是直角∠PRB的平分线,∴∠PRS=∠BRS=45°. 在△ABC与△SBR中,∠C=∠BRS=45°,∠B是公共角, ∴△ABC∽△SBR.(1分) (2)线段TS的长度与PA相等.(2分) ∵四边形PTEF是正方形, ∴PF=PT,∠SPT+∠FPA=180°-∠TPF=90°, 在Rt△PFA中,∠PFA+∠FPA=90°, ∴∠PFA=∠TPS, ∴Rt△PAF≌Rt△TSP,∴PA=TS.(3分) 当点P运动到使得T与R重合时, 这时△PFA与△TSP都是等腰直角三角形且底边相等,即有PA=TS. (若下面解题中没有求出x的取值范围是0≤x≤,以上的讨论可评1分) 由以上可知,线段ST的长度与PA相等. (3)由题意,RS是等腰Rt△PRB的底边PB上的高, ∴PS=BS,∴BS+PS+PA=1,∴PS=.(4分) 设PA的长为x,易知AF=PS, 则y=PF=PA+PS,得y=x+(), 即y=,(5分) 根据二次函数的性质,当x=时,y有最小值为 (6分) 如图2,当点P运动使得T与R重合时,PA=TS为最大. 易证等腰Rt△PAF≌等腰Rt△PSR≌等腰Rt△BSR, ∴PA=. 如图3,当P与A重合时,得x=0. ∴x的取值范围是0≤x≤ (7分) (此处为独立得分点,只要求出x≤即可得1分) ∴①当x的值由0增大到时,y的值由减小到(8分) ∴②当x的值由增大到时,y的值由增大到 (8分) (说明:①②任做对一处评1分,两处全对也只评一分) ∵≤≤,∴在点P的运动过程中, 正方形PTEF面积y的最小值是,y的最大值是 (9分) |
科目:初中数学 来源: 题型:
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
5 |
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com