Question

如图，AB是⊙O的直径，直线AD与⊙O相切于点A，点C在⊙O上，∠DAC＝∠ACD，直线DC与AB的延长线交于点E．AF⊥ED于点F，交⊙O于点G．

⑴ 求证：DE是⊙O的切线；
⑵ 已知⊙O的半径是6cm，EC＝8cm， 求GF的长．

Answer 1

（1）证明：联结OC．
∵AD是⊙O的切线，∴∠OAD=90°，
∴∠OAC+∠DAC=90°．
∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA．
∵∠DAC=∠ACD，
∴∠OCA+∠ACD=90°，即∠OCD=90°，
∴AD是⊙O的切线．
（2）GF=2.4cm

试题分析：⑴ 证明：联结OC．
∵AD是⊙O的切线，∴∠OAD=90°，
∴∠OAC+∠DAC=90°．
∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA．
∵∠DAC=∠ACD，
∴∠OCA+∠ACD=90°，即∠OCD=90°，
∴AD是⊙O的切线．
⑵ 联结BG，
∵OC=6cm，EC=8cm，
∴在Rt△CEO中，OE=10 cm．
∴AE="OE+OA=16" cm．
∵AF⊥ED，
∴∠AFE=∠OCE=90°，∠E=∠E．
∴Rt△AEF∽Rt△OEC．
∴＝，
∴AF==="9.6" cm．
∵AB是⊙O的直径，∴∠AGB=90°，
∴BG∥EF，
∴＝，
∴AG==="7.2" cm，
∴GF=AF－AG=9.6－7.2=2.4cm．
点评：本题考查了切线的性质和判定，相似三角形的性质和判定，主要考查学生能否运用性质进行推理和计算，难度中等。