Question

如图，正方形ABCD的边长为1，点E是AD边上的动点，从点A沿AD向D运动，以BE为边，在BE的上方作正方形BEFG，连接CG．请探究：
（1）线段AE与CG是否相等请说明理由：
（2）若设AE=x，DH=y，当x取何值时，y最大？
（3）连接BH，当点E运动到AD的何位置时，△BEH∽△BAE？

Answer 1

分析：（1）AE=CG，要证结论，必证△ABE≌△CBG，由正方形的性质很快确定∠3=∠4，又AB=BC，BE=BG，符合SAS即证．
（2）先证△ABE∽△DEH，所以

DH

AE

=

DE

AB

，即可求出函数解析式y=-x²+x，继而求出最值．
（3）要使△BEH∽△BAE，需

AE

AB

=

EH

BE

，又因为△ABE∽△DEH，所以

EH

BE

=

DH

AE

=

1

2

，即

AE

AB

=

1

2

，所以当E点是AD的中点时，△BEH∽△BAE．

解答：解：（1）AE=CG．
理由：正方形ABCD和正方形BEFG中，
∠3+∠5=90°，
∠4+∠5=90°，
∴∠3=∠4．
又AB=BC，BE=BG，
∴△ABE≌△CBG．
∴AE=CG．

（2）∵正方形ABCD和正方形BEFG，
∴∠A=∠D=∠FEB=90°．
∴∠1+∠2=90°∠2+∠3=90°．
∴∠1=∠3．
又∵∠A=∠D，
∴△ABE∽△DEH．
∴

DH

AE

=

DE

AB

．
∴

y

x

=

1-x

1

．
∴y=-x²+x
=-（x-

1

2

）²+

1

4

当x=

1

2

时，y有最大值为

1

4

．

（3）解：当E点是AD的中点时，△BEH∽△BAE，
理由：∵E是AD中点，
∴AE=

1

2

．
∴DH=

1

4

．
又∵△ABE∽△DEH，
∴

EH

BE

=

DH

AE

=

1

2

．
又∵

AE

AB

=

1

2

，
∴

AE

AB

=

EH

BE

．
又∠DAB=∠FEB=90°，
∴△BEH∽△BAE．

点评：本题结合正方形的性质考查二次函数的综合应用，以及正方形的性质和相似三角形的判定