Question

18．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD，等边△ABE．已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．
求证：（1）AC=EF；
（2）四边形ADFE是平行四边形；
（3）AC⊥DF．

Answer 1

分析 （1）首先Rt△ABC中，由∠BAC=30°可以得到AB=2BC，又因为△ABE是等边三角形，EF⊥AB，由此得到AE=2AF，并且AB=2AF，然后即可证明△AFE≌△BCA，再根据全等三角形的性质即可证明AC=EF；
（2）根据（1）知道EF=AC，而△ACD是等边三角形，所以EF=AC=AD，并且AD⊥AB，而EF⊥AB，由此得到EF∥AD，再根据平行四边形的判定定理即可证明四边形ADFE是平行四边形；
（3）先求∠EAC=90°，由?ADFE得AE∥DF，可以得∠AGD=90°，则AC⊥DF．

解答 证明：（1）∵Rt△ABC中，∠BAC=30°，
∴AB=2BC，
又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，
∴AB=2AF，AB=AE，
∴AF=BC，
在Rt△AFE和Rt△BCA中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AF=BC}\\{AB=AE}\end{array}\right.$，
∴△AFE≌△BCA（HL），
∴AC=EF；
（2）∵△ACD是等边三角形，
∴∠DAC=60°，AC=AD，
∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°
又∵EF⊥AB，
∴EF∥AD，
∵AC=EF，AC=AD，
∴EF=AD，
∴四边形ADFE是平行四边形；
（3）∵∠EAC=∠EAF+∠BAC=60°+30°=90°，
∵四边形ADFE是平行四边形，
∴AE∥FD，
∴∠EAC=∠AGD=90°，
∴AC⊥DF．

点评 此题考查了平行四边形的性质和判定、三角形全等的性质和判定以及等边三角形的性质，首先利用等边三角形的性质证明全等三角形，然后利用全等三角形的性质和等边三角形的性质证明平行四边形．