Question

13．如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点O又是正方形A₁B₁C₁O的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等．无论正方形A₁B₁C₁O绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{4}$
• D． $\frac{1}{5}$

Answer 1

分析 分两种情况探讨：（1）当正方形A₁B₁C₁O边与正方形ABCD的对角线重合时；（2）当转到一般位置时，由题求证△AEO≌△BOF，故两个正方形重叠部分的面积等于三角形ABO的面积，得出结论．

解答 解：（1）当正方形绕点OA₁B₁C₁O绕点O转动到其边OA₁，OC₁分别于正方形ABCD的两条对角线重合这一特殊位置时，
显然S_{两个正方形重叠部分}=$\frac{1}{4}$S_{正方形ABCD}，
（2）当正方形绕点OA₁B₁C₁O绕点O转动到如图位置时．
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠OAB=∠OBF=45°，OA=OB
BO⊥AC，即∠AOE+∠EOB=90°，
又∵四边形A′B′C′O为正方形，
∴∠A′OC′=90°，即∠BOF+∠EOB=90°，
∴∠AOE=∠BOF，
在△AOE和△BOF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AOE=∠BOF}\\{AO=BO}\\{∠OAE=∠OBF}\end{array}\right.$
∴△AOE≌△BOF（ASA），
∵S_{两个正方形重叠部分}=S_△BOE+S_△BOF，
又S_△AOE=S_△BOF，
∴S_{两个正方形重叠部分}=S_△ABO=$\frac{1}{4}$S_{正方形ABCD}．
综上所知，无论正方形A₁B₁C₁O绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的$\frac{1}{4}$．
故选C．

点评 此题考查正方形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形的面积等知识点，正确的识别图形是解题的关键．