Question

如图，己知：Rt△ABC中，∠BAC=9O°，AD⊥BC于D，E是AC的中点，ED交AB延长线于F，求证：
①△ABD∽△CAD；
②AB：AC=DF：AF．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）由Rt△ABC中，∠BAC=9O°，AD⊥BC，易得∠BAD=∠ACD，又由∠ADB=∠ADC，即可证得△ABD∽△CAD；
（2）由△ABD∽△CAD，即可得

AB

CA

=

BD

AD

，易证得△AFD∽△DFB，可得

AD

DB

=

AF

DF

，继而证得结论．

解答：证明：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴∠BAD+∠DAC=90°，∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠BAD=∠ACD，
∵∠ADB=∠ADC，
∴△ABD∽△CAD；

（2）∵△ABD∽△CAD，
∴

AB

CA

=

BD

AD

，
∵E是AC中点，∠ADC=90°，
∴ED=EC，
∴∠ACD=∠EDC，
∵∠EDC=∠BDF，∠ACD=∠BAD，
∴∠BAD=∠BDF，
∵∠AFD=∠DFB，
∴△AFD∽△DFB，
∴

AD

DB

=

AF

DF

，
∴

AB

AC

=

DF

AF

．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．