Question

14．已知：关于x的方程4x²-（k+2）x+k-3=0．
（1）求证：不论k取何值时，方程总有两个不相等实数根；
（2）试说明无论k取何值，方程都不存在有一根x=1的情况．

Answer 1

分析 （1）根据△=[-（k+2）]²-4×4×（k-3）=（k-6）²+16＞0，即可得出无论k取何值，关于x的方程 4x²-（k+2）x+k-3=0都有两个不相等的实数根；
（2）把x=1代入原方程坐标得出：4-（k+2）+k-3=-1≠0，即可证明无论k取何值，方程都不存在有一根x=1的情况．

解答 （1）证明：∵△=[-（k+2）]²-4×4×（k-3）=（k-6）²+16＞0，
所以不论k取何值时，方程总有两个不相等实数根；

（2）证明：把x=1代入原方程左边得：4-（k+2）+k-3=-1≠0，
所以无论k取何值，方程都不存在有一根x=1的情况．

点评 本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程解的定义．