Question

如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC²=CE•CA．
（1）求证：BC=CD；
（2）分别延长AB，DC交于点P，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F，若PB=OB，CD=2

2

，求DF的长．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,勾股定理,圆周角定理

专题：几何综合题,压轴题

分析：（1）求出△CDE∽△CAD，∠CDB=∠DAC得出结论．
（2）连接OC，先证AD∥OC，由平行线分线段成比例性质定理求得PC=4

2

，再由割线定理PC•PD=PB•PA求得半径为4，根据勾股定理求得AC=2

14

，再证明△AFD∽△ACB，得

AF

FD

=

AC

CB

=

2 14

2 2

=

7

，则可设FD=x，AF=

7

x，在Rt△AFP中，利用勾股定理列出关于x的方程，求解得DF．

解答：（1）证明：∵DC²=CE•CA，
∴

DC

CE

=

CA

DC

，
△CDE∽△CAD，
∴∠CDB=∠DAC，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴BC=CD；

（2）解：方法一：如图，连接OC，

∵BC=CD，
∴∠DAC=∠CAB，
又∵AO=CO，
∴∠CAB=∠ACO，
∴∠DAC=∠ACO，
∴AD∥OC，
∴

PC

PD

=

PO

PA

，
∵PB=OB，CD=2

2

，
∴

PC

PC+2 2

=

2

3

∴PC=4

2

又∵PC•PD=PB•PA
∴4

2

•（4

2

+2

2

）=OB•3OB
∴OB=4，即AB=2OB=8，PA=3OB=12，
在Rt△ACB中，
AC=

AB2-BC2

=

82-(2 2 )2

=2

14

，
∵AB是直径，
∴∠ADB=∠ACB=90°
∴∠FDA+∠BDC=90°
∠CBA+∠CAB=90°
∵∠BDC=∠CAB，
∴∠FDA=∠CBA，
又∵∠AFD=∠ACB=90°，
∴△AFD∽△ACB
∴

AF

FD

=

AC

CB

=

2 14

2 2

=

7

在Rt△AFP中，设FD=x，则AF=

7

x，
∴在Rt△APF中有，(

7

x)2+(x+6

2

)2=122，
求得DF=

3 2

2

．
方法二；连接OC，过点O作OG垂直于CD，

易证△PCO∽△PDA，可得

PC

PD

=

PO

PA

，
△PGO∽△PFA，可得

PG

PF

=

PO

PA

，
可得，

PC

PD

=

PG

PF

，由方法一中PC=4

2

代入

PC

PC+2 2

=

PC+ 2

PC+2 2 +DF

，
即可得出DF=

3 2

2

．

点评：本题主要考查相似三角形的判定及性质，勾股定理及圆周角的有关知识的综合运用能力，关键是找准对应的角和边求解．