Question

如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC⊥BD，垂足为E，CE：BE=1：2，CD=5，求⊙O的直径．

Answer 1

考点：圆周角定理,勾股定理,相似三角形的判定与性质

专题：计算题

分析：作直径AF，连接BF，如图，根据圆周角定理得∠BEC=90°，则可证明Rt△ABF∽Rt△BEC，利用相似比可得AB=2BF，再证明△ABE∽△DCE，利用相似比得到AB=2CD=10，则BF=5，然后在Rt△ABF利用勾股定理计算AF即可．

解答：解：作直径AF，连接BF，如图，
∵AC⊥BD，
∴∠BEC=90°，
∵AF为直径，
∴∠ABF=90°，
∵∠F=∠ACB，
∴Rt△ABF∽Rt△BEC，
∴

AB

BE

=

BF

EC

，
∴

AB

BF

=

BE

CE

=2，即AB=2BF，
∵∠BAE=∠CDE，∠AEB=∠DEC，
∴△ABE∽△DCE，
∴

AB

CD

=

BE

CE

=2，
∴AB=2CD=10，
在Rt△ABF中，∵AB=10，BF=

1

2

AB=5，
∴AF=

AB2+BF2

=5

5

，
即⊙O的直径为5

5

．

点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了相似三角形的判定与性质．