Question

12．在△ABC中．AB=AC，AM⊥BC于M，点D在AB的延长线上，点E在边AC上，且BD=CE，连接DE分别交BC、AM于F、G．
（1）如图1，若∠BAC=90°，AB=25，tan∠BAF=$\frac{1}{4}$，求线段EG的长；
（2）如图2，若F是BM的中点，AB=3，AF=$\sqrt{6}$．
①求证：E是AC的中点；
②求tan∠BAF值和线段EG的长．

Answer 1

分析 （1）先用三角函数得出FN=5，BF，AM，进而用相似三角形的性质求出BD=15，即可得出AE=10，再用平行线分线段成比例定理得出MH，EH，进而用勾股定理得出EF，最后用平行线分线段成比例即可得出EG，
（2）①先构造出△BDF≌△HEF，进而判断出点H和点M重合，即可得出结论；
②先用勾股定理建立方程求出FM，AM，再用三角函数得出FN，BN，即可得出tan∠BAF=$\frac{\sqrt{5}}{7}$，最后同（1）的方法得出EG．

解答 解：（1）如图，过点F作FN⊥AB，设FN=x，
∵tan∠BAF=$\frac{FN}{AN}$=$\frac{1}{4}$，
∴AN=4x，
在Rt△ABC中，AB=AC，
∴∠ABC=45°，
∴BC=$\sqrt{2}$AB=25$\sqrt{2}$，BN=FN=x，BF=$\sqrt{2}$x，
∴AB=AN+BN=4x+x=25，
∴x=5，
∴BN=5，BF=5$\sqrt{2}$，
∵AM⊥BC，
∴AM=BM=CM=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{25\sqrt{2}}{2}$，
∴FM=BM-BF=$\frac{15\sqrt{2}}{2}$，
设BD=a，
∴AE=AC-CE=25-a，AD=25+a，DN=a+5，
∵FN∥AF，
∴△DFN∽△DAE，
∴$\frac{DN}{DA}=\frac{FN}{AE}$，
∴$\frac{a+5}{25+a}=\frac{5}{25-a}$，
∴a=15，
∴BD=CE=15，AE=10，
过点E作EH⊥BC，
∵AM⊥BC，
∴EH∥AM，
∴$\frac{CH}{MH}=\frac{CE}{AE}=\frac{15}{10}=\frac{3}{2}$，
∵CH+MH=CM=$\frac{25\sqrt{2}}{2}$=AM，
∴MH=5$\sqrt{2}$，
∵EH∥AM，
∴$\frac{EH}{AM}=\frac{CE}{AC}=\frac{15}{25}=\frac{3}{5}$，
∴EH=$\frac{3}{5}$AM=$\frac{15\sqrt{2}}{2}$
∵FH=FM+MH=$\frac{25\sqrt{2}}{2}$，
根据勾股定理得，EF=$\sqrt{F{H}^{2}+E{H}^{2}}$=5$\sqrt{17}$，
∵EH∥AM，
∴$\frac{EG}{EF}=\frac{MH}{FH}$，
∴$\frac{EG}{5\sqrt{17}}=\frac{5\sqrt{2}}{\frac{25\sqrt{2}}{2}}$，
∴EG=2$\sqrt{17}$；
（2）①如图2，过点E作EH∥AB，
∴∠DBF=∠EHF，EH=EC，
∵EC=BD，
∴EH=BD，
在△BDF和△HEF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BFD=∠HFE}\\{∠DBF=∠EHF}\\{BD=EH}\end{array}\right.$，
∴△BDF≌△HEF，
∴BF=HF，
∵F是BM的中点，
∴BF=FM，
∴点H和点M重合，
∵BM=CM，
∵EM∥AB，
∴AE=CE，
即：点E是AC中点；
②过点F作FN⊥AB，
在Rt△ABM中，AM²=AB²-BM²=AB²-4FM²=9-4FM²，①
在Rt△AFM中，AM²=AF²-FM²=6-FM²，②
联立①②得，FM=1，AM=$\sqrt{5}$，
在Rt△ABM中，sin∠ABC=$\frac{AM}{AB}=\frac{\sqrt{5}}{3}$=$\frac{FN}{BF}=FN$，
∴BN=$\frac{2}{3}$，
∴AN=AB-BN=$\frac{7}{3}$，
∴tan∠BAF=$\frac{FN}{AN}$=$\frac{\frac{\sqrt{5}}{3}}{\frac{7}{3}}$=$\frac{\sqrt{5}}{7}$，
同（1）的方法得出，EG=$\frac{\sqrt{21}}{4}$．

点评 此题是三角形综合题，主要考查了锐角三角函数，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质，构造全等三角形是解本题的关键，是一道计算量比较大的中考常考题．