Question

15．如图，直线y=-x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B，C（-2，0），直线y=kx-k与x轴交于点D，交AB于F，交BC的延长线于E，若DE=DF，求k的值．

Answer 1

分析 作EM⊥CD于M，FN⊥CD于N，易得△MDE≌△NDF，由全等三角形的性质得DM=DN，由直线y=-x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B可得A，B坐标，由B，C坐标得直线BC解析式，BC解析式与直线y=kx-k，可得N，M点横坐标，由DM=DN，建立等式，求得k．

解答 解：作EM⊥CD于M，FN⊥CD于N，
如图所示：则∠DME=∠DNF=90°，
在△MDE和△FDN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DME=∠DNF}&{\;}\\{∠MDE=∠NDF}&{\;}\\{DE=DF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△MDE≌△NDF（AAS），
∴FN=EM，DM=DN，根据题意得：A（6，0），B（0，6），
设直线BC的解析式为：y=k₁ x+b₁，根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{-{2k}_{1}+{b}_{1}=0}\\{{b}_{1}=6}\end{array}\right.$，解得：k₁=3，b₁=6，
∴直线BC的解析式为：y=3x+6，
∴kx-k=-x+6，
∴x=$\frac{6+k}{k+1}$，
∴N（$\frac{6+k}{k+1}$，0），3x+6=kx-k，
∴x=$\frac{6+k}{k-3}$，∴M（$\frac{6+k}{k+1}$，0），
∵y=kx-k与x轴交于（1，0），
∴D（1，0），
∴1-$\frac{6+k}{k-3}=\frac{6+k}{k+1}-1$，
解得：k=$\frac{3}{7}$．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定及性质，两直线相交问题，构建全等三角形，利用直线解析式组成方程组得交点坐标是解答此题的关键．