Question

6．已知：如图所示，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别过点B、C作经过点A的直线L的垂线段BD、CE，垂足分别D、E．
（1）求证：DE=BD+CE．
（2）如果过点A的直线经过∠BAC的内部，那么上述结论还成立吗？请给出你的结论，并画出图形予以证明．

Answer 1

分析 （1）由垂线的定义和角的互余关系得出∠BDA=∠CEA=90°，∠ABD=∠CAE，由AAS证明△ABD≌△CAE，得出对应边相等BD=AE，AD=CE，由AD+AE=DE，即可得出结论；
（2）由垂线的定义和角的互余关系得出∠ADB=∠CEA=90°，∠ABD=∠CAE，由AAS证明△ABD≌△CAE，得出对应边相等BD=AE，AD=CE，由AE、DE、AD之间的和差关系，即可得出结论．

解答 解：（1）∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，
∵BD⊥l，CE⊥l，
∴∠ADB=∠CEA=90°，
∴∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠ABD=∠CAE．
在△ABD和△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADB=∠CEA=90°\\;}\\{∠ABD=∠CAE}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD=AE，AD=CE，
∵AD+AE=DE，
∴BD+CE=DE；

（2）上述结论不成立．
如图所示，BD=DE+CE．
证明：∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，
∵BD⊥l，CE⊥l，
∴∠ADB=∠CEA=90°，
∴∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠ABD=∠CAE．
在△ABD和△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADB=∠CEA}\\{∠ABD=∠CAE}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD=AE，AD=CE，
∵AD+DE=AE，
∴BD=DE+CE．

如图所示，CE=DE+BD，
证明：证明：∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，
∵BD⊥l，CE⊥l，
∴∠ADB=∠CEA=90°，
∴∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠ABD=∠CAE．
在△ABD和△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADB=∠CEA}\\{∠ABD=∠CAE}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD=AE，AD=CE，
∵AE+DE=AD，
∴CE=DE+BD．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质的运用，解决问题的关键是利用全等三角形的对应边相等进行推导．解题时注意：在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．