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如图所示,圆O是△ABC的外接圆,∠BAC与∠ABC的平分线相交于点I,延长AI交圆O于点D,连接BD、DC.
(1)求证:BD=DC=DI;
(2)若圆O的半径为10cm,∠BAC=120°,求△BDC的面积.

【答案】分析:(1)根据题意可得∠BAD=∠DAC,进而可得BD=DC.同理可得∠BAD=∠DBC,易证△BDI为等腰三角形.结合BD=ID,容易得到证明.
(2)根据圆内接四边形的性质与圆周角定理,可得∠DBC=∠DCB=60°,△BDC为正三角形.又OB=10cm,可得△BDC的面积.
解答:(1)证明:∵AI平分∠BAC,
∴∠BAD=∠DAC,
=
∴BD=DC.                                       
∵BI平分∠ABC,
∴∠ABI=∠CBI.
∵∠BAD=∠DAC,∠DBC=∠DAC,
∴∠BAD=∠DBC.
又∵∠DBI=∠DBC+∠CBI,∠DIB=∠ABI+∠BAD,
∴∠DBI=∠DIB,
∴△BDI为等腰三角形,
∴BD=ID,
∴BD=DC=DI.                                    

(2)解:当∠BAC=120°时,△ABC为钝角三角形,
∴圆心O在△ABC外.
连接OB、OD、OC.
∴∠DOC=∠BOD=2∠BAD=120°,
∴∠DBC=∠DCB=60°,
∴△BDC为正三角形.                             
∴OB是∠DBC的平分线,
延长CO交BD于点E,则OE⊥BD,
∴BE=BD,
又∵OB=10,
∴BD=2OBcos30°=2×10×=10
∴CE=BD•sin60°=10×=15,
∴S△BDC=BD•CE=×10×15=75
答:△BDC的面积为75cm2
点评:此题综合性较强,综合考查了等腰梯形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定、角平分线的性质等知识点.
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