Question

【题目】如图，正六边形ABCDEF的边长为2cm，点P为六边形内任一点．则点P到各边距离之和为_____cm．

Answer 1

【答案】18．

【解析】

过P作AB的垂线，交AB、DE分别为H、K，连接BD，由正六边形的性质可知AB∥DE，AF∥CD，BC∥EF，故HK⊥DE，过C作CG⊥BD，由等腰三角形的性质及正六边形的内角和定理可知，DB⊥AB⊥DE，再由锐角三角函数的定义可求出BG的长，进而可求出BD的长，由正六边形的性质可知点P到AF与CD的距离和及P到EF、BC的距离和均为BD的长．

如图所示：过P作AB的垂线，交AB、DE分别为H、K，连接BD，

∵六边形ABCDEF是正六边形，

∴AB∥DE，AF∥CD，BC∥EF，且P到AF与CD的距离和及P到EF、BC的距离和均为HK的长，

∵BC=CD，∠BCD=∠ABC=∠CDE=120°，

∴∠CBD=∠BDC=30°，

∴BD∥HK，且BD=HK，

∵CG⊥BD，

∴BD=2BG=2×BC×cos∠CBD=2×2×=6，

∴点P到各边距离之和为3BD=3×6=18．

故答案是：18．