Question

（2010•历下区三模）（1）如图，等腰梯形ABCD中，AB=CD，AD∥BC，E是梯形外一点，且EA=ED，试说明EB=EC；
（2）如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC=CD，∠D=30°，
①求证：CD是⊙O的切线；
②若⊙O的半径为3，求弧BC的长．（结果保留π）

Answer 1

【答案】分析：（1）构造全等三角形，△ABE≌△DCE，根据已知可知，AB=DC，AE=DE，若再求出∠BAE=∠CDE，就可利用SAS证明△ABE≌△DCE，那么EB=EC．关键是求出∠BAE=∠CDE，先利用四边形ABCD是等腰梯形，那么∠BAD=∠CDA，而EA=ED，利用等边对等角，可得∠EAD=∠EDA，于是再利用等式性质，可求∠BAE=∠CDE；

（2）①连接OC，由于CA=CD，∠D=30°，那么∠A=∠D=30°，利用三角形内角和等于180°，可得∠ACD=120°，又由于OA=OC，那没人∠OCA=∠A=30°，于是可求∠OCD=90°，即CD是⊙O的切线．
②由OA=OC，∠A=30°，那么可知∠COD=60°，而r=3，利用弧长公式可求弧BC=π．
解答：（1）证明：在等腰梯形ABCD中，
∵AB=CD，AD∥BC，
∴∠BAD=∠ADC，
∵EA=ED，
∴∠EAD=∠EDA，
∴∠BAE=∠EDC，（1分）
在△ABE和△CDB中，
∵AB=DC，∠BAE=∠EDC，EA=ED，
∴△ABE≌△CDE，（2分）
∴EB=EC；（3分）

（2）解：①连接OC，
∵AC=CD，∠D=30°，
∴∠A=30°，∠ACD=12O°，（1分）
∵OA=OC，
∴∠ACO=30°，
∴∠OCD=90°，
∴CD是⊙O的切线；（2分）
②∵OA=OC，∠A=30°，
∴∠OCD=60°，（3分）
∵r=3，
∴弧BC=π×3=π．
点评：本题利用了等腰梯形的性质、等式性质、全等三角形的判定和性质、等边对等角、切线的判定、三角形外角性质、弧长计算公式．