Question

（2013•天门模拟）如图1，P为正方形ABCD边BC上任一点，BG⊥AP于点G，在AP的延长线上取点E，使AG=GE，连接BE，CE．

（1）求证：BE=BC；
（2）如图2，∠CBE的平分线交AE于N点，连接DN，求证：BN+DN=

2

AN．

Answer 1

分析：（1）BG垂直平分线段AE，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等，AB=BE，又AB=BC，所以BE=BC；
（2）标准答案上仅用等腰三角形和直角三角形通过∠GBP+∠PBN=∠GBN=∠PNB=∠NBE+∠NEB，得出Rt△BPG是等腰直角三角形，进而得到，AM=GN；

解答：（1）证明：∵BG⊥AP，AG=GE，
∴BG垂直平分线段AE，
∴AB=BE，
在正方形ABCD中，AB=BC，
∴BE=BC；

（2）证明：连接CN，延长BN交CE于H．
自点D作DM⊥AN于M，

显然Rt△ADM≌Rt△ABG，DM=AG，
∵BN平分∠CBE，∴CH=HE，
∵∠CBN=∠EBN，BE=BC，BN=BN，
∴△BCN≌△BEN，
∴CN=NE，△CEN是等腰三角形，
延长AE交DC延长线于F，则有：∠BAG=∠BEG=∠CFE=∠BCN，
A，B，C，D，N五点共圆，∠AND=∠BNG=45°[AB弦所对圆周角=45°]
Rt△DMN，Rt△BGN都是等腰直角三角形，

2

DM=

2

AG=DN，

2

GN=BN，

2

AG+

2

GN=

2

AN=BN+DN．

点评：本题综合性较强，主要利用线段垂直平分线段判定和性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，综合运用各定理和性质，并分析题目用已知条件和所要证明的结论之间的关系是解本题的关键．