Question

如图所示，已知D是等腰三角形ABC底边BC上的一点，点E，F分别在AC，AB上，且DE∥AB，DF∥AC
（1）通过观察分析线段DE、DF，AB三者之间有什么关系．试说明你的结论成立的理由．
（2）如果AB=6，试求四边形AEDF的周长．

Answer 1

分析：（1）AB=DF+DE；根据已知条件判定四边形AEDF是平行四边形，然后根据平行四边形的对边平行且相等的性质推知AF=DE，FD∥AC；最后由平行线的性质、等腰三角形的性质以及等量代换求得FD=FB，故AB=DF+DE；
（2）由（1）知AB=DF+DE，所以四边形AEDF的周长=2（DE+DF）=2AB．

解答：解：（1）AB=DF+DE；
证明如下：
∵DE∥AB，DF∥AC（已知），
∴四边形AFDE是平行四边形（两组对边互相平行的四边形是平行四边形）；
∴DE=AF（平行四边形的对边相等），DF∥AC（平行四边形的对边相互平行）；
∴∠ACB=∠FDB（两直线平行，同位角相等）；
又∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠B=∠FDB，
∴FB=FD，
∴AB=AF+BF，即AB=DF+DE；

（2）由（1）知，AB=DF+DE；
故四边形AEDF的周长=2（DE+DF）=2AB=12．

点评：本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质．解答该题的关键是平行四边形的判定与性质的综合运用．