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【题目】已知:△ABC是等腰直角三角形,∠BAC90°,将△ABC绕点C顺时针方向旋转得到△ABC,记旋转角为α,当90°α180°时,作ADAC,垂足为DADBC交于点E

1)如图1,当∠CAD15°时,作∠AEC的平分线EFBC于点F

①写出旋转角α的度数;

②求证:EA′+ECEF

2)如图2,在(1)的条件下,设P是直线AD上的一个动点,连接PAPF,若AB,求线段PA+PF的最小值.(结果保留根号)

【答案】1)①105°,②见解析;(2

【解析】

1解直角三角形求出∠A′CD即可解决问题,

连接A′F,设EFCA′于点O,在EF时截取EM=EC,连接CM.首先证明△CFA′是等边三角形,再证明△FCM≌△A′CESAS),即可解决问题.

2)如图2中,连接A′FPB′AB′,作B′M⊥ACAC的延长线于M.证明△A′EF≌△A′EB′,推出EF=EB′,推出B′F关于A′E对称,推出PF=PB′,推出PA+PF=PA+PB′≥AB′,求出AB′即可解决问题.

解:由∠CA′D15°,可知∠A′CD=90°-15°=75°,所以∠A′CA=180°-75°=105°即旋转角α105°

证明:连接A′F,设EFCA′于点O.在EF时截取EMEC,连接CM

∵∠CED∠A′CE+∠CA′E45°+15°60°

∴∠CEA′120°

∵FE平分∠CEA′

∴∠CEF∠FEA′60°

∵∠FCO180°45°75°60°

∴∠FCO∠A′EO∵∠FOC∠A′OE

∴△FOC∽△A′OE

∵∠COE∠FOA′

∴△COE∽△FOA′

∴∠FA′O∠OEC60°

∴△A′CF是等边三角形,

∴CFCA′A′F

∵EMEC∠CEM60°

∴△CEM是等边三角形,

∠ECM60°CMCE

∵∠FCA′∠MCE60°

∴∠FCM∠A′CE

∴△FCM≌△A′CESAS),

∴FMA′E

∴CE+A′EEM+FMEF

2)解:如图2中,连接A′FPB′AB′,作B′M⊥ACAC的延长线于M

可知,∠EA′F′EA′B′75°A′EA′EA′FA′B′

∴△A′EF≌△A′EB′

∴EFEB′

∴B′F关于A′E对称,

∴PFPB′

∴PA+PFPA+PB′≥AB′

Rt△CB′M中,CB′BCAB2∠MCB′30°

∴B′MCB′1CM

∴AB′

∴PA+PF的最小值为

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【题目】在一个不透明的布袋中,有三个除颜色外其它均相同的小球,其中两个黑色,一个红色.

(1)请用表格或树状图求出:一次随机取出2个小球,颜色不同的概率.

(2)如果老师在布袋中加入若干个红色小球.然后小明通过做实验的方式猜测加入的小球数,小 明每次換出一个小球记录下慎色并放回,实验数据如下表:

实验次数

100

200

300

400

500

1000

摸出红球

78

147

228

304

373

752

请你帮小明算出老师放入了多少个红色小球.

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【题目】学校为了解九年级学生对八礼四仪的掌握情况,对该年级的500名同学进行问卷测试,并随机抽取了10名同学的问卷,统计成绩如下:

得分

10

9

8

7

6

人数

3

3

2

1

1

1)计算这10名同学这次测试的平均得分;

2)如果得分不少于9分的定义为优秀,估计这 500名学生对八礼四仪掌握情况优秀的人数;

3)小明所在班级共有40人,他们全部参加了这次测试,平均分为7.8分.小明的测试成绩是8分,小明说,我的测试成绩在班级中等偏上,你同意他的观点吗?为什么?

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2)求从甲、乙两个袋子里各抽一张卡片,抽到标有两个数字的卡片的概率.

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【题目】能分解成两个一次因式的积,则整数k=_________.

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A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

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1)求BD两点的坐标;

2)若P是直线BC下方抛物线上任意一点,过点PPHx轴于点H,与BC交于点M,设Fy轴一动点,当线段PM长度最大时,求PH+HF+CF的最小值;

3)在第(2)问中,当PH+HF+CF取得最小值时,将△OHF绕点O顺时针旋转60°后得到△OHF,过点FOF的垂线与x轴交于点Q,点R为抛物线对称轴上的一点,在平面直角坐标系中是否存在点S,使得点DQRS为顶点的四边形为菱形,若存在,请直接写出点S的坐标,若不存在,请说明理由.

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