Question

如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，∠C=60°，BC=2AD=2

3

，点E是BC的中点，△DEF是等边三角形．
（1）求证：△ADF≌△BEF；
（2）求△BEF的周长．

Answer 1

考点：矩形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：

分析：（1）求出AD=BE，然后判断出四边形DEBA是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形判断出四边形DEBA是矩形，然后求出∠DEB=∠ADE=90°，再根据等边三角形的性质求出∠DEF=∠FDE=60°，DE=EF，再求出∠ADF=∠FEB=30°，然后利用“边角边”证明△ADF和△BEF全等即可；
（2）过点F作FH⊥CB交CB的延长线于H，解直角三角形求出DE，再求出EH、FH，然后利用勾股定理列式求出BF，根据三角形的周长的定义列式计算即可得解．

解答：（1）证明：∵BC=2AD=2

3

，点E是BC的中点，
∴AD=BE=CE=

3

，
∵AD∥BC，
∴四边形DEBA是平行四边形，
∵∠ABC=90°，
∴四边形DEBA是矩形，
∴∠DEB=∠ADE=90°，
∵△DEF是等边三角形，
∴∠DEF=∠FDE=60°，DE=EF，
∴∠ADF=∠FEB=90°-60°=30°，
在△ADF和△BEF中，

AD=BE ∠ADF=∠FEB DF=EF

，
∴△ADF≌△BEF（SAS）；

（2）过点F作FH⊥CB交CB的延长线于H，
∵∠C=60°，CE=

3

，
∴DE=

3

•

3

=3，
即EF=3，
∴EH=

3

2

EF=

3 3

2

，FH=

1

2

EF=

3

2

，
∴BH=EH-BE=

3 3

2

-

3

=

3

2

，
在Rt△BFH中，BF=

FH2+BH2

=

( 3 2 )2+( 3 2 )2

=

3

，
∴△BEF的周长=3+

3

+

3

=2

3

+3．

点评：本题考查了矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，解直角三角形，（1）熟记性质并求出三角形全等的条件是解题的关键，（2）难点在于作辅助线构造成直角三角形并利用勾股定理列式求出BF的长．