Question

2．为支援四川抗震救灾，某省某市A、B、C三地分别有赈灾物资100吨、100吨、80吨，需要全部运往四川重灾区的甲、乙两县．根据灾区的情况，这批赈灾物资运往甲县的数量比运往乙县的数量的2倍少20吨．
（1）求这批赈灾物资运往甲、乙两县的数量各是多少吨？
（2）若要求C地运往甲县的赈灾物资为60吨，A地运往甲县的赈灾物资为x吨（x为整数），B地运往甲县的赈灾物资数量少于A地运往甲县的赈灾物资数量的2倍，其余的赈灾物资全部运往乙县，且B地运往乙县的赈灾物资数量不超过25吨．则A、B两地的赈灾物资运往甲、乙两县的方案有几种？
（3）已知A、B、C三地的赈灾物资运往甲、乙两县的费用如表：

	A地	B地	C地
运往甲县的费用（元/吨）	220	200	200
运往乙县的费用（元/吨）	250	220	210

为及时将这批赈灾物资运往甲、乙两县，某公司主动承担运送这批物资的总费用，在（2）的要求下，该公司
承担运送这批赈灾物资的总费用最多是多少？

Answer 1

分析 （1）设这批赈灾物资运往乙县的数量是a吨，则运往甲县的数量是（2a-20）吨，根据A、B、C三地分别有赈灾物资100吨、100吨、80吨，说明赈灾物资一共有280吨，根据等量关系式：运往甲县的数量+运往乙县的数量=280列方程解出．
（2）由A地→甲县x吨，C地→甲县60吨，可知B地→甲县（180-60-x）吨，A地→乙县（100-x）吨，C地→乙县80-60=20吨，B地→乙县[100-（180-60-x）]吨；根据B地→甲县数量＜A地→甲县数量的2倍得：180-60-x＜2x；根据B地→乙县数量不超过25吨得：100-（180-60-x）≤25；列不等式组求整数解．
（3）设总费用为w元，表示出w的值，化成一次函数，利用增减性求最大值．

解答 解：（1）设这批赈灾物资运往乙县的数量是a吨，则运往甲县的数量是（2a-20）吨，
则a+2a-20=100+100+80，
a=100，
2a-20=2×100-20=180，
答：这批赈灾物资运往甲、乙两县的数量分别是180吨、100吨．
（2）根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{180-60-x＜2x①}\\{100-（180-60-x）≤25②}\end{array}\right.$，
解①得：x＞40，
解②得：x≤45，
∴不等式组的解集为：40＜x≤45，
整数解为：41、42、43、44、45；
则A、B两地的赈灾物资运往甲、乙两县的方案有五种；
（3）设总费用为w元，
则w=220x+250（100-x）+200（180-60-x）+220（x-20）+200×60+210×20，
w=-10x+60800，
∵-10＜0，
∴w随x的增大而减小，
∴当x=41时，w有最大值，w_大=-10×41+60800=60390，
答：该公司承担运送这批赈灾物资的总费用最多是60390元．

点评 本题主要考查了一元一次不等式组的应用和一次函数的最值问题，把函数和应用题结合起来，是数学中的一个难点，理解是关键；本题的第一问是运用一元一次方程来求解，也可以利用二元一次方程组求解；在应用题中求最值问题，可以把它转化为函数求最值问题，这个解题思路常用．