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如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,过点O作EF∥BC交AB于E,交AC于F,过点O作OD⊥AC于D.下列四个结论:①∠BOC=90°+∠A;②EF不可能是△ABC的中位线;③设OD=m,AE+AF=n,则S△AEF=mn;④以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切.其中正确结论的个数是( )

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【答案】分析:由角平分线的性质与三角形的内角和定理,即可求得①∠BOC=90°+∠A正确;又有特殊三角形(等边三角形)的三线合一性质,可得EF可以是△ABC的中位线,确定②错误;然后根据角平分线的性质与面积的求解方法,即可得S△AEF=mn;首先证得△OBE与△OCF是等腰三角形,根据圆与圆的位置关系,即可得以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切.继而求得答案.
解答:解:∵在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,
∴∠OBC=∠ABC,∠OCB=∠ACB,
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A,
∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-(∠ABC+∠ACB)=90°+∠A;故①正确;
若△ABC是等边三角形,则三线合一,此时EF是△ABC的中位线;故②错误;
连接AO,过点O作OH⊥AB于H,
∴AO是△ABC的角平分线,
∵OD⊥AC,
∴OH=OD=m,
∴S△AEF=S△AOE+S△AOF=AE•OH+AF•OD=OD•(AE+AF)=mn;故③错误;
④∵EF∥BC,
∴∠OBC=∠BOE,∠FOC=∠OCB,
∵∠EBO=∠OBC,∠FCO=∠OCB,
∴∠EBO=∠EOB,∠FOC=∠FCO,
∴BE=EO,CF=FO,
∴以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切.故④正确.
故选B.
点评:此题考查了角平分线的性质,等腰三角形的判定与性质,以及圆与圆的位置关系等知识.此题综合性较强,难度较大,解题的关键是注意数形结合思想的应用,注意辅助线的作法.
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(  )
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1
2
B、(
2
2
7
C、
1
4
D、
1
8

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