Question

9．如图，AC为⊙O的直径，PA切⊙O于点A，点B为⊙O上一点，PB与AC的延长线交于点D，连接OB，∠COB=∠APB，连接OP．
（1）求证：PB为⊙O的切线；
（2）当OP=3$\sqrt{10}$，OC=3$\sqrt{2}$时，求线段DB与CD的长．

Answer 1

分析 （1）根据切线的性质得到∠A=90°，根据相似三角形的性质得到结论；
（2）根据勾股定理得到AP=$\sqrt{O{P}^{2}-O{A}^{2}}$=6$\sqrt{2}$，根据相似三角形的性质得到$\frac{OB}{AP}=\frac{BD}{AD}$=$\frac{1}{2}$，求得AD=2BD，设BD=x，OD=2x-3$\sqrt{3}$，根据勾股定理列方程即可得到结论．

解答 解：（1）∵AC为⊙O的直径，PA切⊙O于点A，
∴∠A=90°，
∵∠COB=∠APB，∠D=∠D，
∴△DBO∽△DAP，
∴∠DBO=∠PAD=90°，
∴OB⊥PD，
∴PB为⊙O的切线；

（2）∵OP=3$\sqrt{10}$，OC=3$\sqrt{2}$，
∴OA=OC=3$\sqrt{2}$，
∴AP=$\sqrt{O{P}^{2}-O{A}^{2}}$=6$\sqrt{2}$，∵△DBO∽△DAP，
∴$\frac{OB}{AP}=\frac{BD}{AD}$=$\frac{1}{2}$，
∴AD=2BD，
设BD=x，OD=2x-3$\sqrt{3}$，
∵OB²+BD²=OD²，
即（3$\sqrt{2}$）²+x²=（2x-3$\sqrt{2}$）²，
∴x=4$\sqrt{2}$，
∴BD=4$\sqrt{2}$，OD=5$\sqrt{2}$，
∴CD=2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确的理解题意是解题的关键．