Question

如图，P是等边△ABC内部一点，PC=3，PA=4，PB=5．求AC²．

Answer 1

分析：首先将△BCP绕点C顺时针旋转60°得△ACQ，连接PQ．再过A作CP的延长线的垂线AD，垂足为D，易证得△PCQ是等边三角形，△APQ是直角三角形，则可求得∠APC的度数，然后可求得∠APD的度数，在Rt△APD中，即可求得AD与CD的长，继而求得AC²．

解答：解：将△BCP绕点C顺时针旋转60°得△ACQ，连接PQ．再过A作CP的延长线的垂线AD，垂足为D，
∴AQ=PB=5，CQ=PC，∠PCQ=60°，
∴△PCQ是等边三角形，
∴PQ=PC=3，∠QPC=60°，
在△PAQ中，∵PA=4，AQ=5，PQ=3，
∴AQ²=PA²+PQ²，
∴∠APQ=90°，
∴∠APC=∠APQ+∠QPC=150°，
∴∠APD=30°，
在Rt△APD中，AD=

1

2

PA=2，PD=AP•cos30°=2

3

，
则CD=PC+PD=3+2

3

，
在Rt△ACD中，AC²=AD²+CD²=4+（3+2

3

）²=25+12

3

．

点评：此题考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理以及直角三角形的性质．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．