Question

3．如图，?ABCD中，A（-2，0）、B（0，4），AD在x轴上，且OD=2OA．
（1）求顶点C、D的坐标及CD的长；
（2）求直线AC的解析式；
（3）x轴下方的y轴上是否存在点P，使得直线CP把?ABCD的面积分成1：6两部分？若存在，求出P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）作CE⊥OD于E，则四边形OBCE是矩形，∠CED=90°，得出CE=OB=4，根据勾股定理求出AB，由平行四边形的性质和已知条件求出BC=AD=6，CD=AB=2$\sqrt{5}$，OD=4，即可得出C、D坐标；
（2）设直线AC的解析式为：y=kx+b，把A、C坐标代入得出方程组，解方程组求出k、b即可；
（3）设CP交AD于H，先求出?ABCD的面积，由面积关系求出DH，得出OH和H坐标，用待定系数法求出直线CP的解析式为：y=$\frac{14}{13}$x-$\frac{32}{13}$，再求出直线CP与y轴的交点即可．

解答 解：（1）作CE⊥OD于E，如图1所示：
则四边形OBCE是矩形，∠CED=90°，
∴CE=OB=4，
∵A（-2，0），
∴OA=2，
∴AB=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵OD=2OA，
∴OD=4，
∴AD=2+4=6，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=6，CD=AB=2$\sqrt{5}$；
∴C（6，4），D（4，0）；
（2）设直线AC的解析式为：y=kx+b，
把A（-2，0），C（6，4）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=0}\\{6k+b=4}\end{array}\right.$，
解得：k=$\frac{1}{2}$，b=1，
∴直线AC的解析式为：y=$\frac{1}{2}$x+1；
（3）存在，点P坐标为（0，-$\frac{32}{13}$）；理由如下：
设CP交AD于H，如图2所示：
∵?ABCD的面积=6×4=24，直线CP把?ABCD的面积分成1：6两部分，
∴△CDH的面积$\frac{1}{2}$×DH×4=$\frac{1}{7}$×24，
解得：DH=$\frac{12}{7}$，
∴OH=4-$\frac{12}{7}$=$\frac{16}{7}$，
∴H（$\frac{16}{7}$，0），
设直线CP的解析式为：y=ax+c，
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{6a+c=4}\\{\frac{16}{7}a+c=0}\end{array}\right.$，
解得：a=$\frac{14}{13}$，c=-$\frac{32}{13}$，
∴直线CP的解析式为：y=$\frac{14}{13}$x-$\frac{32}{13}$，
当x=0时，y=-$\frac{32}{13}$，
∴点P的坐标为（0，-$\frac{32}{13}$）．

点评 本题是一次函数综合题目，考查了平行四边形的性质、勾股定理、用待定系数法求一次函数的解析式、平行四边形和三角形面积的计算等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要根据面积关系确定点的坐标，再求出直线的解析式才能得出结果．