Question

【题目】如图，已知抛物线l1经过原点与A点，其顶点是P（﹣2，3），平行于y轴的直线m与x轴交于点B（b，0），与抛物线l1交于点M．

（1）点A的坐标是；抛物线l1的解析式是；
（2）当BM=3时，求b的值；
（3）把抛物线l1绕点（0，1）旋转180°，得到抛物线l2 ．
①直接写出当两条抛物线对应的函数值y都随着x的增大而减小时，x的取值范围；
（4）②直线m与抛物线l2交于点N，设线段MN的长为n，求n与b的关系式，并求出线段MN的最小值与此时b的值．

Answer 1

【答案】
（1）（﹣4，0）；y=﹣ （x+2）2+3
（2）

解：在y=﹣ （x+2）2+3中，令y=﹣3，则﹣ （x+2）2+3=﹣3，

解得：x=﹣2 ﹣2或2 ﹣2．

当在y=﹣ （x+2）2+3中，令y=3时，则﹣ （x+2）2+3=3，

解得x=﹣2，即b=﹣2．

则b=﹣2或2 ﹣2或﹣2 ﹣2；

（3）﹣2＜x＜2
（4）

解：设M的坐标是（b，﹣ ），则N的坐标是（b， （b﹣2）2﹣1），

则MN= （b﹣2）2﹣1）﹣[﹣ ]= b2+2．

则当b=0时，MN最小，是2．

【解析】解：（1）∵顶点P的坐标是（﹣2，3），即对称轴是x=﹣2，
∴A的坐标是（﹣4，0）．
设抛物线的解析式是y=a（x+2）2+3，
把（0，0）代入得4a+3=0，
解得a=﹣ ，
则抛物线的解析式是y=﹣ （x+2）2+3．
故答案是：（﹣4，0），y=﹣ （x+2）2+3．
·（3）P（﹣2，3）关于（0，1）的对称点是（2，﹣1），
则抛物线L2的解析式是y= （x﹣2）2﹣1，
①当﹣2＜x＜2时，两条抛物线对应的函数值y都随着x的增大而减小．
答案是：﹣2＜x＜2；
【考点精析】认真审题，首先需要了解二次函数的性质(增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小)．