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已知AB是半圆O的直径,点C在BA的延长线上运动(点C与点A不重合),以OC为直径的半圆M与半圆O交于点D,∠DCB的平分线与半圆M交于点E.

(1)求证:CD是半圆O的切线(图1);
(2)作EF⊥AB于点F(图2),猜想EF与已有的哪条线段的一半相等,并加以证明;
(3)在上述条件下,过点E作CB的平行线交CD于点N,当NA与半圆O相切时(图3),求∠EOC的正切值.
【答案】分析:(1)连接OD,由直径对的圆周角是直角知∠CDO=90°,再切线的判定方法即可判定CD是半圆O的切线;
(2)连接OD、OE,延长OE交CD于点K,作EG⊥CD于点G,则根据垂直于同一直线的两条直线平行知,EG∥OD.CE平分∠DCB,由角的平分线上的点到角的两边的距离相等知EG=EF,由直径对的圆周角是直角知∠CEO=∠CEK=90°,易得△COE≌△CKE,有OE=KE,即点E是OK的中点,所以EG是△ODK的OD边对的中位线,则EG是OD的长的一半,从而得证题设;
(3)、如图,延长OE交CD于点K,设OF=x,EF=y,由2中知,OA=OK=2OE=2y,易得四边形AFEN是矩形,有NE=AF=OA-OF=2y-x.由于NE∥OC,点E是OK的中点,则EN是△OCK的OC对的中位线,有N是CK的中点.所以CO=2NE=2(2y-x),进一步得到CF=CO-OF=4y-3x,由Rt△CEF∽Rt△EOF则有EF2=CF•OF,由此得到关于x,y的方程,变形即可求出进而确定tan∠EOC的值.
解答:(1)证明:如图,连接OD,
则OD为半圆O的半径
∵OC为半圆M的直径
∴∠CDO=90°
∴CD是半圆O的切线;

(2)解:猜想:EF=OA.
证明:如图2,
连接OD、OE,延长OE交CD于点K,作EG⊥CD于点G,则EG∥OD,
∵CE平分∠DCB,
∴∠OCE=∠KCE.
∵EF⊥AB,
∴EG=EF.
∵OC是半圆M的直径,E为半圆M上的一点,
∴∠CEO=∠CEK=90°.
∵CE为公共边,
∴△COE≌△CKE.
∴OE=KE.
∵EG∥OD,
∴DG=GK.
∴EF=EG=OD=OA.

(3)解:如图3,
延长OE交CD于点K,
设OF=x,EF=y,则OA=2y,
∵NE∥CB,EF⊥CB,NA切半圆O于点A,
∴四边形AFEN是矩形,
∴NE=AF=OA-OF=2y-x,
同(2)证法一,得E是OK的中点,
∴N是CK的中点,
∴CO=2NE=2(2y-x),
∴CF=CO-OF=4y-3x,
∵EF⊥AB,CE⊥EO,
∴Rt△CEF∽Rt△EOF,
∴EF2=CF•OF,即y2=x(4y-3x),
解得
=3时,tan∠EOC===3,
=1时,点C与点A重合,不符合题意,故舍去,
∴tan∠EOC=3.
点评:本题利用了圆周角定理,直径对的圆周角定理是直角,角的平分线的性质,切线的性质,矩形的判定和性质,全等三角形和相似三角形的判定和性质,三角形中位线的判定和性质,平行线的判定和性质,正切的定义求解,利用的知识比较多,难度比较大.
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