Question

已知：如图，在平面直角坐标系中，正方形 OABC的顶点B的坐标为（2，2），A、C两点分别在x轴、y轴上．P是BC边上一点（不与B点重合），连AP并延长与x轴交于点E，当点P在边BC上移动时，△AOE的面积随之变化．
①设PB=a（0＜a≤2）．求出△AOE的面积S与a的函数关系式．
②根据①的函数关系式，确定点P在什么位置时，S_△AOE=2，并求出此时直线AE的解析式．
③在所给的平面直角坐标系中画出①中函数的图象和函数S=-a+2的简图．
④设函数S=-a+2的图象交a轴于点G，交S轴于点D，点M是①的函数图象上的一动点，过M点向S轴作垂线交函数S=-a+2的图象于点H，过M点向a轴作垂线交函数S=-a+2的图象于点Q，请问DQ•HG的值是否会变化？若不变，请求出此值；若变化，请说明理由．

Answer 1

分析：①由相似可以求出OE，△AOE是直角三角形，可以直接求出△AOE的面积．
②把S=2代入得到a=2，PB=2，此时E点与C点重合，求出E点坐标，运用待定系数法求出直线AE的解析式．
③利用描点法画出一次函数和反比例函数的图象．
④通过作辅助线得到△HRG和△DNQ均为等腰直角三角形，利用勾股定理用含a的式子表示出HG、DQ的值，从而求出定值．

解答：解：①∵B（2，2），且四边形ABCO是正方形．
∴AB=BC=OC=AO=2
∵PB=a
∴PC=2-a
∵△PCE∽△AOE
∴PC：AO=EC：OE
即（2-a）：2=（0E-2）：OE
解得：OE=

4

a

∴S=

4

a

（0＜a≤2）；

②当S=2时，2=

4

a

求得：a=2，
∴OE=2，
∴E点C点P点重合．
∴P（2，0）
∴E（2，0），设直线AE的解析式为：y=kx+b则有：

2=b 0=2k+b

解得：

k=-1 b=2

直线AE的解析式为：y=-x+2；

③作图为：S=

4

a

（0＜a≤2）与s=-a+2的图象为：

④DQ•HG的值是不会变化的
设M点坐标为(t，

4

t

)，过H作HR垂直于a轴垂足为R，
过D作DN垂直于MQ垂足为N，易得HR=

4

t

，DN=t，
易证△HRG和△DNQ均为等腰直角三角形，由勾股定理得HG=

4 2

t

，DQ=

2

t
所以DQ•HG=

4 2

t

•

2

t=8．

点评：本题是一道一次函数和反比例函数的综合试题，考查了待定系数法求函数的解析式，描点法画函数图象、等腰直角三角形的性质以及勾股定理的运用等多个知识点．