Question

如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=2x+b与x轴交于点A（-4，0），与y轴交于点B．
（1）填空：b=

 

；
（2）已知点P是y轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P．
①若PA=PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；
②当⊙P与直线l相切时，求点P与原点O间的距离．

Answer 1

分析：（1）将A点坐标代入直线1中即可求出b．
（2）①当PA=PB，题中等量关系OA²+OP²=AP²．根据等量关系求出OP，然后可以判断⊙P与直线l的位置关系．
②根据相切以及直线1的方程求出BP，然后求出OP．

解答：解：（1）b=8；（3分）

（2）①由（1）得B（0，8）
设OP=x，则AP=BP=8-x，
在Rt△AOP中，由勾股定理得4²+x²=（8-x）²（4分）
解得x=3（5分）
∵PO=3=半径
∴⊙P与x轴相切．（6分）

②当点P在点B下方时，
如图，设⊙P₁与直线l相切于点M，
连接P₁M，则P₁M=3
由△BMP₁∽△BOA得

MP1

OA

=

BP1

AB

（7分）
即

3

4

=

BP1

4 5

，解得BP1=3

5

∴OP1=OB-BP1=8-3

5

（8分）
当点P在点B上方时，
如图，设⊙P₂与直线l相切于点N，
连接P₂N，
同理可得BP2=3

5

，（9分）
OP2=OB+BP2=8+3

5

（10分）
综上所述，此点P与原点O间的距离为8-3

5

或8+3

5

．（11分）

点评：本题重要考查对于一次函数的应用，同时还考查了对于平面坐标以及平面图形的应用．